Почему не поднимает гидравлика на МТЗ?

То, что без нагрузки поднимает, а под нагрузкой нет - это верный признак того, что система не держит нужное давление, а не полностью вышла из строя. Проверять стоит по порядку, от простого к сложному.

Сначала самое дешевое:

• Уровень и качество масла. Даже если недавно доливали, проверьте, то ли масло залито и не разбавлено ли оно случайно другим - разные пакеты присадок ведут себя непредсказуемо под нагрузкой.
• Фильтр гидросистемы. Забитый фильтр сначала пропускает масло на холостых оборотах, но не успевает прокачать нужный объем под нагрузкой - отсюда как раз просадка именно при подъеме груза.
• Уровень масла именно во время работы, а не на стоянке - если бак почти пустой, насос на подъеме начинает хватать воздух, отсюда и подвывание двигателя, которое вы описываете.

Если с этим все в порядке, дальше проверяются более серьезные вещи:

• Износ шестеренного насоса. Со временем зазоры между шестернями и корпусом увеличиваются, насос начинает "проскальзывать" - создает поток на холостых, но не держит давление под нагрузкой. Проверяется манометром на выходе насоса, показания сравниваются с паспортными.
• Предохранительный клапан, который может быть выставлен на заниженное давление или залипать в открытом положении из-за грязи под клапаном.
• Силовой (позиционный) регулятор гидравлики - на МТЗ он довольно часто сбивается и начинает срабатывать раньше времени, ограничивая подъем под нагрузкой. Это регулируется отдельно тягой регулятора и требует небольшого опыта, но чинится без замены деталей.

Начните с масла и фильтра - это пять минут работы и почти без затрат, и в моей практике на МТЗ именно они виноваты чаще всего. Если после замены фильтра и проверки уровня симптом остался, тогда уже имеет смысл снимать насос и мерить давление манометром, гадать здесь дорого.